如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中點，
（1）求二面角E-AC-D的余弦值；
（2）求直線CD與平面AEC所成角的正弦值．
以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
E（0，2，1），P（0，0，2）．
∴
AB
=（2，0，0），
AD
=（0，4，0），
AP
=（0，0，2），
CD
=（-2，0，0），
AE
=（0，2，1），
AC
=（2，4，0）．

精英家教網(wǎng)

（1）設(shè)平面AEC的法向量
n
=（x，y，z），令z=1，則
n
=（x，y，1）．
由
n
•
AE
=0
n
•
AC
=0
即
2y+1=0
2x+4y=0
，解得
x=1
Y=-
1
2
∴
n
=（1，-
1
2
，1）．
平面ABC的法向量
AP
=（0，0，2）．
cos＜
n
，
AP＞
=
n
•
AP
|
n
|•|
AP
|
=
2
3
2
×2
=
2
3
．
所以二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是
2
3
．
（2）因為平面ABC的法向量是
n
=（1，-
1
2
，1），而
CD
=（-2，0，0）．
所以cosθ=
n
•
CD
|
n
|•|
CD
|
=
-2
3
2
×2
=-
2
3
．
直線CD與平面AEC的正弦值
2
3
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•惠州模擬）如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中點．
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=4．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）在BC邊上是否存在一點M，使得D點到平面PAM的距離為2，若存在，求BM的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•通州區(qū)一模）如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分別是PC、PD的中點，求證：
（Ⅰ）EF∥平面PAB；
（Ⅱ）平面PAD⊥平面PDC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求三棱錐P-AEC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（1）若E為PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（2）在BC上是否存在一點G，使得D到平面PAG的距離為1？若存在，求出BG；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案