Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，

m

=（2b-

3

c，cosC），

n

=（

3

a，cosA），且

m

∥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）求2

3

cos²B-sin2B-

3

的取值區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

m

∥

n

利用向量共線的坐標表示可得（2b-

3

c）cosA-

3

acosC=0而要求角A的大小需將邊a，b，c轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系故需利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的式子然后化簡求值．
（2）要求2

3

cos²B-sin2B-

3

的取值區(qū)間需將式子化為Asin（wx+∅）+k的形式然后再根據(jù)角的范圍利用正余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解故需利用降冪公式和輔助角公式來化簡．

解答：解：（1）由

m

∥

n

得（2b-

3

c）cosA-

3

acosC=0
由正弦定理的2sinBcosA-

3

sinCcosA-

3

sinAcosC=0
∴2sinBcosA-

3

cos（A+C）=0
∴2sinBcosA-

3

sinb=0
∵A，B∈（0，π）
∴sinB≠0
∴cosA=

3

2

∴A=

π

6

（2）∵2

3

cos²B-sin2B-

3

=

3

（1+cos2B）-sin2B-

3

=2cos（2B+

π

6

）
又∵A=

π

6

∴0＜B＜

5π

6

∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

11π

6

∴-2≤2cos（2B+

π

6

）＜

3

即所求的取值區(qū)間為[-2，

3

）

點評：本題主要考查了向量和三角函數(shù)的綜合．解題的關(guān)鍵是第一問要利用向量共線的坐標表示和正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為有關(guān)角的式子再求解而第二問關(guān)鍵是要利用降冪公式和輔助角公式將要求的式子化為Asin（wx+∅）+k．同時此題有關(guān)角的范圍的利用也要引起注意（比如第一問中利用A，B∈（0，π）得到sinB≠0，第二問中利用A=

π

6

得到0＜B＜

5π

6

）！