Question

【題目】已知圓與曲線有三個不同的交點.

（1）求圓的方程；

（2）已知點是軸上的動點， ， 分別切圓于， 兩點.

①若，求及直線的方程；

②求證：直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②過定點.

【解析】試題分析：（1）由得或。直線與圓相交，故直線與圓相切，所以可用圓心到直線的距離等于，可求得；（2）①設直線， 交于點，由弦長、勾股定理可求|MP|，在直角三角形AMQ，由三角形相似得，求得，設點，由距離公式求點的坐標，再結合點M的坐標求直線MQ的方程；②設點，求過點Q、M的圓的方程，弦AB為兩圓的公共弦，求直線AB的方程，由方程求定點的坐標。

試題解析：（1）因為直線與圓相切，

故圓心到直線的距離為，即： ， .

所以圓的方程為.

（2）①設直線， 交于點，則，

又，所以，

而，所以，

設，而點，由， ，

則或，

從而直線的方程為：

或.

②證明：設點，由幾何性質可以知道， ， 在以為直徑的圓上，

此圓的方程為， 為兩圓的公共弦，

兩圓方程相減得，

即，

所以過定點.