Question

已知動點P到點F（1，0）的距離與它到直線x=4的距離之比為．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若點M是圓C：x²+（y-3）²=1上的動點，求|PM|+|PF|的最大值及此時的P點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)動點P到點F（1，0）的距離與它到直線x=4的距離之比為，建立方程，化簡可得動點P的軌跡方程；
（2）根據(jù)點M是圓C：x²+（y-3）²=1上的動點，可得|PM|≤|PC|+1，設橢圓的左焦點為F₁（-1，0），依據(jù)橢圓的定義知，|PF|=4-|PF₁|，從而|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，根據(jù)當點P是CF₁延長線與橢圓的交點時，|PC|-|PF₁|取得最大值，即可求得|PM|+|PF|的最大值，進而可得P點坐標．
解答：解：（1）設P（x，y），由題意得：，化簡可得
∴動點P的軌跡方程為----（5分）
（2）∵點M是圓C：x²+（y-3）²=1上的動點，∴|PM|≤|PC|+1，-------（6分）
設橢圓的左焦點為F₁（-1，0），依據(jù)橢圓的定義知，|PF|=4-|PF₁|，------（7分）
∴|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，
當點P是CF₁延長線與橢圓的交點時，|PC|-|PF₁|取得最大值，
∴|PM|+|PF|的最大值為，------（10分）
此時直線CF₁的方程是y=3x+3，
點P的坐標是方程組的解，消去y得，13x²+24x+8=0，----（11分）
解得，
∴，，----（13分）
此時的P點坐標為（，）．-------------（14分）
點評：本題重點考查軌跡方程，考查圓與橢圓的綜合，解題的關鍵是利用橢圓的定義，合理運用圓的性質，有一定的綜合性．