Question

9．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}8x-y-4≤0\\ x+y+1≥0\\ y-4x≤0\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為（　　）

• A． 5
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 9

Answer 1

分析 先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)z=ax+by，再利用幾何意義求最值，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，只需求出直線z=ax+by，過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)（1，4）時(shí)取得最大值，從而得到一個(gè)關(guān)于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可

解答 解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
當(dāng)直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過(guò)直線8x-y-4=0與y=4x的交點(diǎn)B（1，4）時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大2，
即a+4b=2，
則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（a+4b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4b}{a}+\frac{a}$）$≥\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$；
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)等號(hào)成立；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于中檔題．