Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=4且對于任意的自然數(shù)n∈N⁺都有a_n+1=2（a_n-n+1）
（I）證明數(shù)列{a_n-2n}是等比數(shù)列．
（II）求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）用第n+1項除以第n項，將已知等式代入，求出商是常數(shù)，利用等比數(shù)列的定義得證．
（II）利用等比數(shù)列的通項公式求出a_n-2n，求出a_n，據(jù)a_n是有一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的和構(gòu)成的，所以利用分組法求出前n項和．

解答：解：（I）∵a_n+1=2（a_n-n+1）
∴

an+1-2(n+1)

an-2n

=

2(an-n+1)-2(n+1)

an-2n

=

2(an-2n)

an-2n

=2
∴數(shù)列{a_n-2n}是以a₁-2=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列
（II）由（I）可得
a_n-2n=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ+2n
∴Sn=

2-2n+1

1-2

+

(2+2n)n

2

=2ⁿ⁺¹-2+n²+n

點評：在求數(shù)列的前n項和時，先判斷數(shù)列通項的特點，據(jù)特點選擇合適的求和方法．