Question

定義一個“等積數列”：在一個數列中，如果每一項與它后一項的積都是同一常數，那么這個數列叫“等積數列”，這個常數叫做這個數列的公積．已知數列{a_n}是等積數列，且a₁=1，公積為3，則這個數列的前n項和S_n的計算公式為：

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知條件推導出a_n=

1，n為正奇數 3，n為正偶數

，由皮利用分類討論思想能求出Sn=

2n，n是正奇數 2n-1，n是正偶數

．

解答： 解：由題意得，a_na_n+1=3（n∈N₊），且a₁=1，
∴a₂=3，a₃=1，a₄=3，a₅=1，a₆=3，…
∴a_n=

1，n為正奇數 3，n為正偶數

，
當n是偶數時，數列的奇數項數和為

n

2

，偶數項數和為

3n

2

，
則數列的前n項和S_n=2n，
當n是奇數時，數列的奇數項數和是

n-1

2

+1=

n+1

2

，
偶數項數是

n-1

2

×3=

3n-3

2

，
則數列的前n項和Sn=

n+1

2

+

3n-3

2

=2n-1，
∴Sn=

2n，n是正奇數 2n-1，n是正偶數

．
故答案為：Sn=

2n，n是正奇數 2n-1，n是正偶數

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．