Question

9．若數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，且$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+n$，則$\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{n}$=2n²+2n．

Answer 1

分析 利用已知條件求出通項(xiàng)公式，然后化簡所求的表達(dá)式的通項(xiàng)公式求解數(shù)列的和即可．

解答 解：數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，且$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+n$，a₁=4．
可得$\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}+…+\sqrt{{a}_{n-1}}=（n-1）^{2}+（n-1）$，
兩式相減可得：$\sqrt{{a}_{n}}=2n$，即a_n=4n²，
$\frac{{a}_{n}}{n}$=4n，
則$\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{n}$=4（1+2+3+…+n）=2n²+2n．
當(dāng)n=1時(shí)，命題也成立．
故答案為：2n²+2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．