Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_n+S_n=2n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列，并求出a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（2-n）（a_n-2），求{b_n}的最大項(xiàng)．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由a₁+s₁=2a₁=2得a₁=1；
由a_n+S_n=2n得
a_n+1+S_n+1=2（n+1）
兩式相減得2a_n+1-a_n=2，即2a_n+1-4=a_n-2，即a_n+1-2=

1

2

（a_n-2）
是首項(xiàng)為a₁-2=-1，公比為

1

2

的等比數(shù)列．故a_n-2=-(

1

2

)n-1，故a_n=2-(

1

2

)n-1，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=(2-n)•(-1)•(

1

2

)n-1=(n-2)•(

1

2

)n-1
由bn+1-bn=

n-1

2n

-

n-2

2n-1

=

n-1-2n+4

2n

=

3-n

2n

≥0得n≤3
由b_n+1-b_n＜0得n＞3，所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n
故b_n的最大項(xiàng)為b3=b4=

1

4

．