Question

有兩個(gè)投資項(xiàng)目A，B，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A項(xiàng)目的利潤(rùn)與A項(xiàng)目的投資成正比，其關(guān)系如圖甲，B項(xiàng)目的利潤(rùn)與B項(xiàng)目的投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖乙．（注：利潤(rùn)與投資單位：萬元）

（1）分別將A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)表示為投資x（萬元）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）現(xiàn)將有10萬元資金，將其中x（0≤x≤10）萬元投資A項(xiàng)目，其余投資B項(xiàng)目．h（x）表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)之和．求h（x）的最大值，并指出x為何值時(shí)，h（x）取得最大值．

Answer 1

分析：（1）由于A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，可設(shè)y₁=k₁•x，從圖1可以得到當(dāng)x=1時(shí)，y₁=0.25，當(dāng)x=2時(shí)，y₁=0.45，從而可以得到k₁，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，可設(shè)y₂=k₂•

x

，當(dāng)x=4時(shí)，y₂=2.5，當(dāng)x=9時(shí)，y₂=3.75，從而可得到k₂；
（2）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬元，則B產(chǎn)品投入10-x萬元，設(shè)企業(yè)的利潤(rùn)為w萬元，w=A產(chǎn)品的利潤(rùn)+B產(chǎn)品的利潤(rùn)．

解答：解：（1）投資為x萬元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為y₁萬元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為y₂萬元，
由題設(shè)y₁=k₁•x，y₂=k₂•

x

，由圖知y₁=

1

4

x，（x≥0），y₂=

5

4

x

，（x≥0）

（2）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬元，則B產(chǎn)品投入10-x萬元，設(shè)企業(yè)的利潤(rùn)為w萬元
w=y₁+y₂=

x

4

+

5

4

10-x

，（0≤x≤10），
令

10-x

=t則 y=

10-t2

4

+

5

4

t=-

1

4

(t-

5

2

)2+

25

16

，（0≤t≤

10

）
當(dāng)t=

5

2

，y_max≈4，此時(shí)x=10-

25

4

=3.75；
∴當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬元，B產(chǎn)品投入6.25萬元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)約為

65

16

萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查將實(shí)際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題、考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、考查換元法注意新變量的范圍、二次函數(shù)的最值與對(duì)稱軸有關(guān)．