Question

14．橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．
（1）求$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值與最小值．
（2）設(shè)∠F₁PF₂=θ，求證：${S_{△{F_1}PF}}_2=tan$$\frac{θ}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值2a，再利用均值定理求積|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；
（2）由橢圓的定義可知||MF₁|+|MF₂||=2a，|F₁F₂|=2c，設(shè)∠F₁MF₂=θ，
在△F₁AF₂中，由余弦定理可得：|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cosθ=（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁|•|MF₂|（1+cosθ），
 可得4c²=4a^2-2|MF₁|•|MF₂|（1+cosθ）⇒|MF₁|•|MF₂|=$\frac{2^{2}}{1+cosθ}$
即有△F₁MF₂的面積S=|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂=$^{2}\frac{sinθ}{1+cosθ}=^{2}tan\frac{θ}{2}=tan\frac{θ}{2}$．

解答 解：（1），設(shè)P（x，y），∴F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（-$\sqrt{3}$，0），
則$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3=$\frac{3}{4}$x²-2
∵x²∈[0，4]，∴=$\frac{3}{4}$x²-2∈[-2，1]．
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值為1，最小值為-2．
證明：（2）由橢圓的定義可知||MF₁|+|MF₂||=2a，|F₁F₂|=2c，設(shè)∠F₁MF₂=θ，
在△F₁AF₂中，由余弦定理可得：
|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cosθ=（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁|•|MF₂|（1+cosθ），
 可得4c²=4a^2-2|MF₁|•|MF₂|（1+cosθ）⇒|MF₁|•|MF₂|=$\frac{2^{2}}{1+cosθ}$
即有△F₁MF₂的面積S=|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂=$^{2}\frac{sinθ}{1+cosθ}=^{2}tan\frac{θ}{2}=tan\frac{θ}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值與最小值的求法，焦點(diǎn)三角形的面積，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．屬于中檔題