Question

在△ABC中，記角A、B、C所對(duì)邊的邊長分別為a、b、c，設(shè)S是△ABC的面積，若2SsinA＜（

BA

•

BC

）sinB，則下列結(jié)論中：
①a²＜b²+c²；                  ②c²＞a²+b²；
③cosBcosC＞sinBsinC；       ④△ABC是鈍角三角形．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：由題意可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又bsinA=asinB＞0，可得cosB＞sinA＞0，可得A、B均是銳角，從而可得A+B＜90°，∠C＞90°，由余弦定理及兩角和的余弦公式結(jié)合三角函數(shù)值的符合即可判斷得解．

解答： 解：∵2SsinA＜（

BA

•

BC

）sinB，
∴2×

1

2

bcsinA×sinA＜cacosBsinB，
∴可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，
又由正弦定理可得：bsinA=asinB＞0，
則cosB＞sinA＞0，
可得：A、B均是銳角，
而cosB=sin（90°-B），
故有sin（90°-B）＞sinA，即90°-B＞A，
則A+B＜90°，∠C＞90°，
∴由余弦定理可得：cos∠C=

a2+b2-c2

2ab

＜0，即有：c²＞a²+b²，故②正確，
∴由余弦定理可得：cos∠A=

b2+c2-a2

2bc

＞0，可得a²＜b²+c²，故①正確；
∴△ABC是鈍角三角形，故④正確；
∵cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=-cosA＜0，故③不正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦定理，正弦定理，三角形面積公式，兩角和的余弦公式等知識(shí)的應(yīng)用，借助考查命題的真假判斷，考查三角形形狀的判斷，屬于中檔題．