Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．
（Ⅰ）求證：AB⊥PD；
（Ⅱ）在線(xiàn)段PB上找出一點(diǎn)E，使AE∥平面PCD，指出點(diǎn)E的位置并加以證明．
（Ⅲ）若，，求直線(xiàn)PA與平面PDB所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，推知PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，從而有AB⊥平面PAD，證得AB⊥PD．
（Ⅱ）取線(xiàn)段PB的中點(diǎn)E，PC的中點(diǎn)F，連接AE，EF，DF，則EF是△PBC中位線(xiàn)．可推知四邊形EFDA是平行四邊形，轉(zhuǎn)化出AE∥DF．再由線(xiàn)面平行的判定定理得證．
（Ⅲ）要求線(xiàn)面角，關(guān)鍵是找平面的垂線(xiàn)，取BD的中點(diǎn)H，連接AH，PH，根據(jù)AD=AB，得BD⊥AH因?yàn)锽D⊥PA，從而B(niǎo)D⊥平面PAH，故可求．
解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD．…（4分）
（Ⅱ）取線(xiàn)段PB的中點(diǎn)E，PC的中點(diǎn)F，連接AE，EF，DF，
則EF是△PBC中位線(xiàn)．
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，，
∴AD∥EF，AD=EF．
∴四邊形EFDA是平行四邊形，
∴AE∥DF．
∵AE?平面PCD，DF?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．
∴線(xiàn)段PB的中點(diǎn)E是符合題意要求的點(diǎn)．…（9分）
（Ⅲ）取BD的中點(diǎn)H，連接AH，PH，
因?yàn)锳D=AB，則BD⊥A
又因?yàn)锽D⊥PA，
所以BD⊥平面PAH，
故∠APH為直線(xiàn)PA與平面PDB所成的角，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224945267466395/SYS201311012249452674663020_DA/2.png">，PA⊥AH，
所以∠APH=，即直線(xiàn)PA與平面PDB所成的角為．  …（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，主要考查了線(xiàn)面平行與線(xiàn)線(xiàn)平行，線(xiàn)面垂直和線(xiàn)線(xiàn)垂直間的轉(zhuǎn)化，考查了轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，考查線(xiàn)面角．