Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC，BC₁∩B₁C=E，F(xiàn)是AC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）設∠B₁AC₁=θ，且cosθ=

2

3

，試在棱AA₁上找一點M，使得BM⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證：EF∥平面AB₁C₁，只需證明EF∥AB₁即可；
（Ⅱ）M為AA₁的中點時，在矩形AA₁B₁B中，易證得BM⊥AB₁，
再證明BM⊥AC，即得BM⊥平面AB₁C．

解答：解：（Ⅰ）在△AB₁C中，E，F(xiàn)分別是B₁C和AC的中點，則EF∥AB₁，而EF?平面AB₁C₁，AB₁?平面AB₁C₁，
∴EF∥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）設三棱柱的側(cè)棱AA₁=b，AB=AC=a，
由∠BAC=90°，可得BC=

2

a，由題意可得AB₁=AC₁=

a2+b2

，
在△AB₁C₁中，
cosθ=

( a2+b2 )2+( a2+b2 )2-( 2 a)2

2 a2+b2 a2+b2

=

b2

a2+b2

=

2

3

，
∴b²=2a²，即b=

2

a．
當M為AA₁的中點時，在矩形AA₁B₁B中，易證得BM⊥AB₁，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，BM?平面AA₁B₁B，
∴BM⊥AC，又AC∩AB₁=A，∴BM⊥平面AB₁C．

點評：本題考查直線與平面的平行和垂直的判定，考查學生邏輯思維能力，是中檔題．