Question

已知指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足：g（3）=8，定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

n-g(x)

m+2g(x)

是奇函數(shù)．
（1）確定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法設(shè)出指數(shù)函數(shù)的解析式，根據(jù)所給條件g（3）=8，列出方程，求出a的值，即可得到y(tǒng)=g（x）的解析式；
（2）求出f（x）的解析式，根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，得到f（0）=0，f（-1）=-f（1），列出方程，即可得到m，n的值；
（3）判斷出f（x）的單調(diào)性，結(jié)合f（x）的奇偶性，將不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為2t-3t²＜k-t²對(duì)任意的t∈R恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等關(guān)系，求解即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）∵y=g（x）是指數(shù)函數(shù)，
∴設(shè)g（x）=a^x（a＞0，且a≠1），
∵g（3）=8，
∴a³=8，解得a=2，
故g（x）=2^x；
（2）∵f（x）=

n-g(x)

m+2g(x)

，且g（x）=2^x，
∴f（x）=

n-2x

m+2x+1

，
∵f（x）=

n-2x

m+2x+1

是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即

n-1

2+m

=0，解得n=1，
∴f（x）=

1-2x

m+2x+1

，
又∵f（-1）=-f（1），
∴

1- 1 2

m+1

=

1-2

4+m

，解得m=2，
故m=2，n=1；    　　　　　　           
（3）由（2）知，f（x）=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵y=2^x+1在R上單調(diào)遞增，則y=

1

2x+1

在R上單調(diào)遞減，
∴f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

在R上單調(diào)遞減，
∵不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0，
∴f（2t-3t²）＞-f（t²-k），
又∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（2t-3t²）＞f（k-t²），
又f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0對(duì)任意的t∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為2t-3t²＜k-t²對(duì)任意的t∈R恒成立，
∴2t²-2t+k＞0對(duì)任意的t∈R恒成立，
∴△=（-2）²-4×2×k＜0，解得k＞

1

2

，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為k＞

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解，求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，配湊法，消元法等．同時(shí)考查了函數(shù)的恒成立問題，函數(shù)恒成立問題的，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．屬于中檔題．