Question

如圖，一個計算裝置有兩個數(shù)據(jù)輸入口Ⅰ、Ⅱ與一個運算結(jié)果輸出口Ⅲ，當Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數(shù)m，n時，輸出結(jié)果記為f（m，n），且計算裝置運算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1，則f（1，1）=1；
②若Ⅱ輸入1，Ⅰ輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來3倍；
③若Ⅰ輸入固定的正整數(shù)，Ⅱ輸入的正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來增大3．試求：
（1）f（2，1）、f（3，1）的值，并推導f（m，1）的表達式（m∈N^*）；
（2）寫出

f(m，n)與f(m，n-1)

的關(guān)系等式，并求f（m，n）的表達式（m，n∈N^*）；
（3）若Ⅰ，Ⅱ都輸入正整數(shù)n，則輸出結(jié)果f（n，n）能否為2011？若能，求出相應(yīng)的n；若不能，則請說明理由．

Answer 1

分析：（1）仔細審題后按照題設(shè)條件一步一步地進行轉(zhuǎn)換，能夠?qū)С鰂（m，1）的表達式（m∈N）．
（2）先由題設(shè)條件把f（m，n）轉(zhuǎn)化為以f（m，1）=3^m-1為首項，以3為公差的等差數(shù)列，從而得到其結(jié)果．
（3）由f（7，7）=3⁶+18=747＜2011，f（8，8）=3⁷+21=2208＞2011，知f（n，n）輸出結(jié)果不可能為2011．

解答：解：（1）f（2，1）=3，f（3，1）=9（2分）f（1，1）、f（2，1）、…、f（m，1）組成數(shù)列{f（m，1）}
由運算原理①、②得：f（1，1）=1，f（m，1）=3f（m-1，1）
∴數(shù)列{f（m，1）}是以f（1，1）=1為首項，以3為公比的等比數(shù)列
∴f（m，1）═f（1，1）•3^m-1=3^m-1（4分）
（2）f（m，1）、f（m，2）、…、f（m，n）組成數(shù)列{f（m，n）}，
由運算原理③得：f（m，n）=f（m，n-1）+3
∴數(shù)列{f（m，n）}是以f（m，1）=3^m-1為首項，以3為公差的等差數(shù)列
∴f（m，n）=3^m-1+3（n-1）（6分）
（3）不能，理由如下：
由（2）得 f（n，n）=3^n-1+3（n-1），易知f（n，n）=3^n-1+3（n-1）遞增
又∵f（7，7）=3⁶+18=747＜2011，f（8，8）=3⁷+21=2208＞2011，
∴f（n，n）輸出結(jié)果不可能為2011．                     （6分）

點評：本題考查數(shù)列的遞推式，題目比較新穎，解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是認真審題，真正地理解題意．