Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E是棱C₁D₁的中點(diǎn)，則異面直線A₁C₁與CE所成角的余弦值的大小是

10

10

．

Answer 1

分析：連接AC、AE，AD₁，易證∠ACE即為異面直線A₁C₁與CE所成角或其補(bǔ)角．設(shè)正方體棱長為1，先分別求出AC、CE、AE，然后在△ACE中運(yùn)用余弦定理即可求得余弦值．

解答：解：連接AC、AE，AD₁，
因?yàn)锳BCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，所以AC∥A₁C₁，
則∠ACE即為異面直線A₁C₁與CE所成角或其補(bǔ)角．
設(shè)正方體棱長為1，則AC=

2

，CE=

CC12+C1E2

=

5

2

，AE=

AD12+D1E2

=

2+ 1 4

=

3

2

．
在△ACE中，cos∠ACE=

AC2+CE2-AE2

2•AC•CE

=

2+ 5 4 - 9 4

2× 2 × 5 2

=

10

10

．
即異面直線A₁C₁與CE所成角的余弦值的大小為

10

10

．
故答案為：

10

10

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線所成角的求解問題，屬基礎(chǔ)題，一般通過平移轉(zhuǎn)化為平面角或利用向量解決．