Question

（2013•奉賢區(qū)二模）如圖放置的等腰直角三角形ABC薄片（∠ACB=90°，AC=2）沿x軸滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)A（x，y）的軌跡方程是y=f（x），當(dāng)x∈[0，4+2

2

]時(shí)y=f（x）=

4-(x-2)2 (0≤x≤2) 8-(x-4)2 (2≤x≤4+2 2 )

．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形在滾動(dòng)過程中的特點(diǎn)，要使x∈[0，4+2

2

]，說明三角形進(jìn)行了兩次滾動(dòng)，一次是以C為圓心，A在四分之一圓周運(yùn)動(dòng)，一次是以B為圓心A在中心角是135°的扇形弧上運(yùn)動(dòng)，由此可求A的軌跡．

解答：解：當(dāng)?shù)妊�直角三角形以C為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)滾動(dòng)時(shí)，A的軌跡是以C（2，0）為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑的圓的部分，當(dāng)B點(diǎn)落在x軸上時(shí)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)了四分之一圓周，所以其軌跡方程為y=

4-(x-2)2

（0≤x≤2）；
當(dāng)?shù)妊�直角三角形以B為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)滾動(dòng)時(shí)，A的軌跡是以B（4，0）為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑的圓的部分，當(dāng)A點(diǎn)落在x軸上時(shí)滿足A點(diǎn)的最大橫坐標(biāo)為4+2

2

．三角形不在滾動(dòng)，此過程是以B（4，0）為圓心，以2

2

為半徑的圓的部分，軌跡方程為y=

8-(x-4)2

（2≤x≤4+2

2

）．
所以頂點(diǎn)A（x，y）的軌跡方程是f（x）=

4-(x-2)2 (0≤x≤2) 8-(x-4)2 (2≤x≤4+2 2 )

．
故答案為

4-(x-2)2 (0≤x≤2) 8-(x-4)2 (2≤x≤4+2 2 )

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是基礎(chǔ)題．