Question

已知雙曲線x²-y²=1的左、右頂點分別為A₁、A₂，動直線l：y=kx+m與圓x²+y²=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求k的取值范圍，并求x₂-x₁的最小值；
（Ⅱ）記直線的斜率為，直線m≤φ（x）_min的斜率為，那么，x∈（1，e）是定值嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由l與圓相切，知m²=1+k²，由，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，故k的取值范圍為（-1，1）．由此能求出x₂-x₁取最小值．
（Ⅱ）由已知可得A₁，A₂的坐標分別為（-1，0），（1，0），所以==，由此能求出為定值．
解答：解：（Ⅰ）∵l與圓相切，
∴，
∴m²=1+k²①
由，
得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，
∴，
∴k²＜1，
∴-1＜k＜1，
故k的取值范圍為（-1，1）．
由于，
∵0≤k²＜1
∴當k²=0時，x₂-x₁取最小值．（6分）
（Ⅱ）由已知可得A₁，A₂的坐標分別為（-1，0），（1，0），
∴，
∴
=
=
=
=
=，
由①，得m²-k²=1，
∴為定值．（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．