Question

9．已知拋物線y²=2x與過點M（m，0）（m＞0）的直線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1，則實數(shù)m的值為1．

Answer 1

分析 設直線AB的方程為x=ty+m，（m＞0），與拋物線的方程聯(lián)立，消去x，整理成關于y的一元二次方程，設出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點坐標，再由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達定理可以求得答案．

解答 解：設直線AB的方程為x=ty+m，（m＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得y²-2ty-2m=0，
判別式為4t²+4m＞0恒成立，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2m，
∴x₁•x₂=（ty₁+m）•（ty₂+m）=t²y₁•y₂+m²+mt（y₁+y₂）
=-2mt²+m²+2mt²=m²，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=m²-2m=-1，
解方程可得m=1．
故答案為：1．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．