Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4
（1）若f（x）在x=

4

3

處取得極值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若存在x₀∈（0，+∞），時(shí)，使得不等式f（x₀）＞0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）f'（x）=-3x²+2ax，由題意得 f′(

4

3

)=0，解得a=2，此時(shí)f′(x)=-3x(x-

4

3

)，
可知函數(shù)在（0，

4

3

）上，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增，在（-∞，0），(

4

3

，+∞)上，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)減，
所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（0，

4

3

），函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），(

4

3

，+∞)．
（2）根據(jù)題意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式 a＞x+

4

x2

在（0，+∞）上有解即可．
令 g(x)=x+

4

x2

，只需要a＞g（x）_min
而 g(x)=x+

4

x2

=

x

2

+

x

2

+

4

x2

≥3

3	x 2 • x 2 • 4 x2

=3，當(dāng)且僅當(dāng)

x

2

=

4

x2

，即x=2時(shí)“=”成立．
故a＞3，即a的取值范圍是（3，+∞）．