Question

已知a=(2

3

cosx，cosx)，b=(sinx，2cosx)，函數(shù)f（x）=a•b+|b|²．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)

π

6

≤x≤

π

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積表示出函數(shù)f（x）的解析式后化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）的形式，根據(jù)T=

2π

w

可得答案．
（2）先根據(jù)x的范圍求出2x+

π

6

的范圍，再由三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

解答：解：（1）a=(2

3

cosx，cosx)，b=(sinx，2cosx)，
f（x）=a•b+|b|²=2

3

sinxcosx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1=2sin（2x+

π

6

）+1
∴T=

2π

2

=π
（2）∵

π

6

≤x≤

π

2

，∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，∴2sin（2x+

π

6

）+1∈[0，3]
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，3]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法和單調(diào)區(qū)間的求法．一般都是把函數(shù)先化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）或y=Acos（wx+ρ）的形式再由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解題．