在數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
．
（1）計算a2，a3，a4并猜想數(shù)列{an}的通項公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．
分析：（1）根據(jù)a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
可求出a2，a3，a4的值，根據(jù)前四項的值可猜想數(shù)列{an}的通項公式；
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟進行證明即可．
解答：解：（1）∵a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
．
∴a2=
3
2
1
2
+3
=
3
7
，a3=
3
7
3
7
+3
=
3
8
，a4=
3
8
3
8
+3
=
3
9

猜想數(shù)列{an}的通項公式為an=
3
n+5

（2）①n=1時，a1=
1
2
=
3
6
滿足通項公式；
②假設(shè)當(dāng)n=k時猜想成立，即ak=
3
k+5
，則ak+1=
3ak
ak+3
=
3×
3
k+5
3
k+5
+3
=
3
(k+1)+5
，
當(dāng)n=k+1時猜想也成立．
綜合①②，對n∈N*猜想都成立．
點評：本題主要考查了遞推關(guān)系，以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a 1=
1
3
，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a=
12
，前n項和Sn=n2an，求an+1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個結(jié)論,然后再解答)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，a，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Tn，證明：．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案