已知函數(shù)
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點P(1,f(1))處的切線與直線y=x+2垂直,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對于?x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,試求a的取值范圍;
(Ⅲ)記g(x)=f(x)+x-b(b∈R).當a=1時,函數(shù)g(x)在區(qū)間[e-1,e]上有兩個零點,求實數(shù)b的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ) 求出函數(shù)的定義域,在定義域內(nèi),求出導數(shù)大于0的區(qū)間,即為函數(shù)的增區(qū)間,
求出導數(shù)小于0的區(qū)間即為函數(shù)的減區(qū)間.
(Ⅱ) 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最小值,要使f(x)>2(a-1)恒成立,需使函數(shù)的最小值大于2(a-1),
從而求得a的取值范圍.
(Ⅲ)利用導數(shù)的符號求出單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)函數(shù)g(x)在區(qū)間[e-1,e]上有兩個零點,得到,
 解出實數(shù)b的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)直線y=x+2的斜率為1,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
因為,所以,,所以,a=1.
所以,. 由f'(x)>0解得x>2;由f'(x)<0,解得 0<x<2.
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(0,2).
(Ⅱ)  ,由f'(x)>0解得 ; 由f'(x)<0解得
所以,f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
所以,當時,函數(shù)f(x)取得最小值,.因為對于?x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,
所以,即可. 則. 由解得
所以,a的取值范圍是 
(Ⅲ) 依題得 ,則
由g'(x)>0解得  x>1;   由g'(x)<0解得  0<x<1.
所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)為減函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)為增函數(shù).
又因為函數(shù)g(x)在區(qū)間[e-1,e]上有兩個零點,所以,
解得 .   所以,b的取值范圍是
點評:本題考查導數(shù)與曲線上某點的切線斜率的關(guān)系,利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的最值.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=px-
px
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(Ⅰ)若p=3,求曲f9想)在點(1,f(1))處的切線方程;
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