Question

已知圓M過兩點C（1，-1）、D（-1，1）且圓心M在直線x+y-2=0上．
（1）求圓M的方程；
（2）設P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA、PB是圓M的兩條切線，A、B為切點，求四邊形PAMB的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出圓的標準方程，利用圓M過兩點C（1，-1）、D（-1，1）且圓心M在直線x+y-2=0上，建立方程組，即可求圓M的方程；
（2）四邊形PAMB的面積為S=2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x+4y+8=0上找一點P，使得|PM|的值最小，利用點到直線的距離公式，即可求得結論．
解答：解：（1）設圓M的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根據題意得，解得：a=b=1，r=2，
故所求圓M的方程為：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）由題知，四邊形PAMB的面積為S=S_△PAM+S_△PBM=（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|²=|PM|²-|AM|²=|PM|²-4，
即S=2．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x+4y+8=0上找一點P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|_min==3，所以四邊形PAMB面積的最小值為2=2．
點評：本題考查圓的標準方程，考查四邊形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．