Question

17．一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：f₁（x）=x³，f₂（x）=5^|x|，f₃（x）=2，f₄（x）=$\frac{1}{x}$，f₅（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x），f₆（x）=xcosx．
（Ⅰ）從中任意拿取2張卡片，若其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)．在此條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）老遠函數(shù)的奇偶性的定義先判定函數(shù)的奇偶性．所有的基本事件包括兩類：一類為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)；另一類為兩張卡片上寫的函數(shù)為一個是奇函數(shù)，一個為偶函數(shù)；可得基本事件總數(shù)．再利用古典概率計算公式即可得出．
（II）老遠古典概率計算公式、相互獨立事件的概率計算公式可得概率，分布列及其數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）f₁（x）=x³為奇函數(shù)，f₂（x）=5^|x|，為偶函數(shù)，f₃（x）=2為偶函數(shù)，f₄（x）=$\frac{1}{x}$為奇函數(shù)，f₅（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）=cosx為偶函數(shù)，f₆（x）=xcosx為奇函數(shù)．
所有的基本事件包括兩類：一類為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)；
另一類為兩張卡片上寫的函數(shù)為一個是奇函數(shù)，一個為偶函數(shù)；故基本事件總數(shù)為${∁}_{3}^{1}{∁}_{3}^{1}$+${∁}_{3}^{2}$=12．
滿足條件的基本事件為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)，故滿足條件的基本事件個數(shù)為${∁}_{3}^{2}$．
故所求概率為P=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{12}$=$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4． P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}}$•$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{5}^{1}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}}$•$\frac{{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{1}}$•$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{4}^{1}}$=$\frac{3}{20}$，P（ξ=4）=$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}}$•$\frac{{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{1}}$•$\frac{{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{4}^{1}}$•$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{20}$．
故ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

Eξ=$1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}$+$3×\frac{3}{20}$+4×$\frac{1}{20}$=$\frac{7}{4}$．
∴ξ的數(shù)學期望為$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查了相互獨立事件的概率計算公式、隨機變量的分布列及其數(shù)學期望計算公式、函數(shù)的奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．