Question

若集合A具有以下性質(zhì)：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，則x-y∈A，且x≠0時(shí)，

1

x

∈A．則稱集合A是“好集”．
（Ⅰ）分別判斷集合B={-1，0，1}，有理數(shù)集Q是否是“好集”，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)集合A是“好集”，求證：若x，y∈A，則x+y∈A；
（Ⅲ）對(duì)任意的一個(gè)“好集”A，分別判斷下面命題的真假，并說(shuō)明理由．
命題p：若x，y∈A，則必有xy∈A；
命題q：若x，y∈A，且x≠0，則必有

y

x

∈A．

Answer 1

分析：（1）利用“好集”的概念和集合B，能夠即可作出正確判斷．
（2）集合A是“好集”，利用“好集”的概念，先證明-y∈A，再證明x+y∈A．
（3）對(duì)命題P的證明分兩種情況討論：①當(dāng)x，y中有0或1；②x，y均不為0，1．對(duì)命題Q的證明借助P的結(jié)論可證明．

解答：解：（Ⅰ）集合B不是“好集”．理由是：假設(shè)集合B是“好集”．
因?yàn)?1∈B，1∈B，所以-1-1=-2∈B．這與-2∉B矛盾．
有理數(shù)集Q是“好集”．因?yàn)?∈Q，1∈Q，
對(duì)任意的x，y∈Q，有x-y∈Q，且x≠0時(shí)，

1

x

∈Q．
所以有理數(shù)集Q是“好集”．
（Ⅱ）因?yàn)榧�合A是“好集”，
所以 0∈A．若x，y∈A，則0-y∈A，即-y∈A．
所以x-（-y）∈A，即x+y∈A．
（Ⅲ）命題p，q均為真命題．理由如下：
對(duì)任意一個(gè)“好集”A，任取x，y∈A，
若x，y中有0或1時(shí)，顯然xy∈A．
下設(shè)x，y均不為0，1．由定義可知：x-1，

1

x-1

，

1

x

∈A．
所以 

1

x-1

-

1

x

∈A，即

1

x(x-1)

∈A．
所以 x（x-1）∈A．
由（Ⅱ）可得：x（x-1）+x∈A，即x²∈A．同理可得y²∈A．
若x+y=0或x+y=1，則顯然（x+y）²∈A．
若x+y≠0且x+y≠1，則（x+y）²∈A．
所以 2xy=（x+y）²-x²-y²∈A．
所以 

1

2xy

∈A．
由（Ⅱ）可得：

1

xy

=

1

2xy

+

1

2xy

∈A．
所以 xy∈A．
綜上可知，xy∈A，即命題p為真命題．
若x，y∈A，且x≠0，則

1

x

∈A．
所以 

y

x

=y•

1

x

∈A，即命題q為真命題．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假的判斷和應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，考查分析解決新問題的能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解“好集”的概念，合理地進(jìn)行轉(zhuǎn)化．