Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，

且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。

（1）證明：面PAD⊥面PCD

（2）求AC與PB所成的角

（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

Answer 1

解法Ⅰ（1）∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

  ∴由三垂線定理得CD⊥PD．                                                                                        

  因而，CD與面PAD內(nèi) 兩條相交直線AD，PD都垂直，

  ∴CD⊥面PAD．                                     

  又 CD面PCD   ∴面 PAD⊥面 PCD    

（2）過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，則∠PBE是 AC與PB所成的角。                 

連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=, 

又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形

     由PA⊥面ABCD得∠PBE＝90°，

     在Rt△PEB中，

     ∴                         

     ∴AC與PB所成的角為arccos              

（3）作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN，在Rt△PAB中，AM=MB, 又AC=CB，

     ∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角。

     ∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，

    所以

    在等腰三角形AMC中，AN?MC＝

    ∴AN=                                                                                                                                           

    又AB＝2，∴,

故所求的二面角為                

解法Ⅱ

   因?yàn)镻A⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立

右圖所示空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0,0), 

B(0,2,0),C(1,1,0), D(1,0,0), P(0,0,1), M(0,1,)

（1）因  故,所以AP⊥DC。

由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，

由此得DC⊥面PAD, 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD      

（2）因  故

所以

∴AC與PB所成的角為arccos                                              

（3）在MC上取一點(diǎn)N(x,y,z)，使AN⊥MC,

     設(shè) 其中，

∵   

∴

∵AN⊥MC, ∴

即解得                                                

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（），,

∴ ∴BN⊥MC．

所以∠ANB為所求二面角的平面角。                                  

∵  

∴

故所求的二面角為   。