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已知定點A(0，a)(a＞0)，直線l1：y＝－a交y軸于點B，記過點A且與直線l1相切的圓的圓心為點C．

(Ⅰ)求動點C的軌跡E的方程；

(Ⅱ)設傾斜角為α的直線l2過點A，交軌跡E于兩點P、Q，交直線l1于點R．

(1)若tanα＝1，且ΔPQB的面積為，求a的值；

(2)若α∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)連CA，過C作CD⊥l1，垂足為D，由已知可得|CA|＝|CD|，

　　∴點C的軌跡是以A為焦點，l1為準線的拋物線，

　　∴軌跡E的方程為x2＝4ay　　(4分)

　　(Ⅱ)直線l2的方程為y＝kx＋a，與拋物線方程聯立消去y得x2－4akx－4a2＝0．

　　記P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

　　則x1＋x2＝4ak，x1x2a2＜0　　(6分)

　　(1)若tanα＝1，即k＝1，此時x1＋x2＝4a，x1x2＝－4a2．

　　∴SΔBPQ＝SΔABP＋SΔABQ＝a|x1|＋a|x2|＝a|x2－x1|

　�。�a＝a＝a＝4a2　　(8分)

　　∴4a2＝，注意到a＞0，∴a＝　　(9分)

　　(2)因為直線PA的斜率k≠0，易得點R的坐標為(，－a)　　(10分)

　　|PR|·|QR|＝·＝(x1＋，y1＋a)·(x2＋，y2＋a)

　　＝(x1＋)(x2＋)＋(kx1＋2a)(kx2＋2a)

　�。�(1＋k2)x1x2＋(＋2ak)(x1＋x2)＋＋4a2

　�。剑�4a2(1＋k2)＋4ak(＋2ak)＋＋4a2＝4a2(k2＋)＋8a2≥8a2＋8a2＝16a2

　　又α∈[，]，∴k∈[，1]，

　　當且僅當k2＝，即k＝1時取到等號　　(12分)

　　從而|PR|·|QR|的最小值為16a2　　(14分)


練習冊系列答案
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3
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3
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1
4
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