Question

對(duì)任意函數(shù)f（x），x∈D，可按如圖構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，記由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n}．
（1）若定義函數(shù)f(x)=

4x-2

x+1

，且輸入x0=

49

65

，請(qǐng)寫出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)；
（2）若定義函數(shù)f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列{x_n}，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值及相應(yīng)數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式x_n；
（3）若定義函數(shù)f（x）=2x+3，且輸入x₀=-1，求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式x_n．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f(x)=

4x-2

x+1

的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），由此能推導(dǎo)出數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng)x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．
（2）若要產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，則f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值及相應(yīng)數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式x_n．
（3）f（x）=2x+3的定義域?yàn)镽，若x₀=-1，則x₁=1，則x_n+1+3=2（x_n+3），從而得到數(shù)列{x_n+3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

4x-2

x+1

的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞）…（1分）
把x0=

49

65

代入可得x1=

11

19

，把x1=

11

19

代入可得x2=

1

5

，把x2=

1

5

代入可得x₃=-1
因?yàn)閤₃=-1∉D，
所以數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng)：x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1…（4分）
（2）若要產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，則f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，
即x（sinx-1）=0在[0，2π]上有解，則x=0或sinx=1，所以x=0或x=

π

2

…（6分）
即當(dāng)x0=0或x0=

π

2

時(shí)，xn+1=xnsinxn=xn
故當(dāng)x₀=0時(shí)，x_n=0；當(dāng)x0=

π

2

時(shí)，xn=

π

2

．  …（9分）
（3）f（x）=2x+3的定義域?yàn)镽，…（10分）
若x₀=-1，則x₁=1，
則x_n+1=f（x_n）=2x_n+3，所以x_n+1+3=2（x_n+3），…（12分）
所以數(shù)列{x_n+3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以xn+3=4•2n-1=2n+1，所以xn=2n+1-3，
即數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式xn=2n+1-3．                    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的所有項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．