Question

函數(shù)y=f（x）對于任意正實數(shù)x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），當(dāng)x＞1時，0＜f（x）＜1，且f（2）=

1

9

．
（1）求證：f(x)f(

1

x

)=1(x＞0)；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性；并證明；
（3）若f（m）=3，求正實數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）令x=1，y=2，結(jié)合f（2）=

1

9

可求得f（1）=1，再令y=

1

x

，可證明f(x)f(

1

x

)=1(x＞0)；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，0＜f(

x2

x1

)＜1，作差f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）[1-f（

x2

x1

）]，結(jié)合（1）即可判斷f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減性；
（3）由f(2)=

1

9

=

1

f( 1 2 )

可求得f（

1

2

）=3，結(jié)合（2）f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)可求m的值．

解答：證明：（1）令x=1，y=2，得f（2）=f（1）f（2），又f(2)=

1

9

，
∴f（1）=1，…（2分）
令y=

1

x

，得f(x•

1

x

)=f(x)f(

1

x

)=f(1)=1；  …（4分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，0＜f(

x2

x1

)＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（

x2

x1

•x1）=f（x₁）-f（

x2

x1

）f（x₁）=f（x₁）[1-f（

x2

x1

）]，…（7分）
而當(dāng)x＞0時，f(x)=f(

x

•

x

)=[f(

x

)]2≥0，且由（1）可知，f(x)f(

1

x

)=1，f（x）≠0，
則當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，
∴f（x₁）＞0，1-f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
則f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)；…（10分）
（3）∵f(2)=

1

9

，
∴f（

1

2

）=

1

f(2)

=9，
又f(

1

2

)=f(

2

2

•

2

2

)=[f(

2

2

)]2，且f(

2

2

)＞0，
∴f（

2

2

）=3，…（13分）
∵f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，m是正實數(shù)，
∴m=

2

2

…（16分）

點評：本題考查抽象函數(shù)及其用，關(guān)鍵在于對條件及證明過的結(jié)論f(x)f(

1

x

)=1(x＞0)的靈活應(yīng)用，屬于難題．