Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若k=

1

3

，設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間[

1

2

，a]上的值域為[

1

a

，1]，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)x＜0，得-x＞0，再利用七函數(shù)的定義f（x）=-f（-x）求出x＜0時對應(yīng)的解析式，再與已知相結(jié)合即可求整個函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）知當x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-kx³，求出其導函數(shù)以及導函數(shù)為0的根，利用導函數(shù)值的正負和原函數(shù)的關(guān)系即可判斷出函數(shù)的性；
（Ⅲ）先把k=

1

3

代入求出g（x）=-（x-1）²+1，再利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的求法與條件相結(jié)合得x=1時g（x）取得最大值1，最后利用最小值即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-kx³
∴當x＜0時，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-（x²+kx³）
∴f(x)=

x2-kx3(x≥0) -x2-kx3(x＜0)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知當x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-kx³
當k=0時，f'（x）=-2x，在區(qū)間（-∞，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
當k≠0∴f′(x)=-2x-kx2，令f′(x)=-2x-kx2=0得x=-

2

3k

或x=0
∴在區(qū)間(-∞，-

2

3k

)上，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)；
在區(qū)間（-

2

3k

，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
（Ⅲ）∵k=

1

3

，當x≥0時，f(x)=x2-

1

3

x3
∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
又∵a＞1．
∴g(x)在區(qū)間[

1

2

，a]上，當x=1時g（x）取得最大值1
當1＜a≤

3

2

時，g(x)min=g(

1

2

)=

3

4

，由

3

4

=

1

a

得：a=

4

3．

當a＞

3

2

時，g(x)min=g(a)=2a-a2，
由2a-a2=

1

a

解得：a=

1+ 5

2

或a=

1- 5

2

（舍）或a=1（舍）
∴存在滿足題意的實數(shù)a=

4

3

或a=

1+ 5

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性以及二次函數(shù)在不固定閉區(qū)間上的最值問題，二次函數(shù)在不固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來進行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論