已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的圖象過點P(1,2),且在點P處的切線斜率為8.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅰ)解:∵函數(shù)f(x)的圖象過點P(1,2),
∴f(1)=2.
∴a+b=1.①
又函數(shù)圖象在點P處的切線斜率為8,
∴f'(1)=8,
又f'(x)=3x
2+2ax+b,
∴2a+b=5.②
解由①②組成的方程組,可得a=4,b=-3.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f'(x)=3x
2+8x-3,
令f'(x)>0,可得x<-3或x>
;令f'(x)<0,可得
.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-3),
,減區(qū)間為
.
分析:(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象過點P(1,2)與函數(shù)圖象在點P處的切線斜率為8,建立關(guān)于a和b的方程組,解之即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f'(x),令f'(x)>0和令f'(x)<0,即可求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
點評:本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識,同時考查了分析與解決問題的綜合能力,屬于基礎(chǔ)題.