Question

已知函數(shù)在（1，+∞）上為增函數(shù)，函數(shù)g（x）=lnx-mx（x＞0）在（1，+∞）上為減函數(shù)．
（1）分別求出函數(shù)f（x）和g（x）的導函數(shù)；
（2）求實數(shù)m的值；
（3）求證：當x＞0時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數(shù)的運算法則及基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求出f（x），g（x）的導函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，令f'（x）==≥0恒成立及g'（x）==≤0恒成立，求出m的值．
（3）因為當x＞0時，1+＞1，利用（1）中f（x），g（x）的單調(diào)性得到當x＞0時，xln（1+）＜1＜（x+1）ln（1+）
解答：解：（1）f'（x）=…（2分）
g'（x）==…（4分）
（2）因為函數(shù)在（1，+∞）上為增函數(shù)，
所以當x＞1時，f'（x）==≥0恒成立，得m≤1．
因為函數(shù)g（x）=lnx-mx（x＞0）在（1，+∞）上為減函數(shù)．
所以當x＞1時，g'（x）==≤0恒成立，得m≥1．
從而m=1．…（6分）
（3）當x＞0時，1+＞1，
所以由（1）知：f（1+）＞f（1），即：ln（1+）+＞1，
化簡得：（1+x）ln（1+）＞1
g（1+）＜g（1），即：ln（1+）-（1+）＜-1，
化簡得：xln（1+）＜1．
所以當x＞0時，xln（1+）＜1＜（x+1）ln（1+）．…（8分）
點評：本題考查導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，當已知函數(shù)遞增時，令導函數(shù)大于等于0；當函數(shù)遞減時，令導函數(shù)小于等于0，求出參數(shù)的范圍．