Question

已知x²+2y²+z²=4則x-2y+2z的最小值為

-2

7

．

Answer 1

分析：可以根據(jù)柯西不等式

n

i=1

ai2•

n

i=1

bi2≥(

n

i=1

aibi)2來解決．

解答：解：∵4×7=[1²+（-

2

）²+2²]×[x²+2y²+z²]≥（x-2y+2z）²．
∴|x-2y+2z|≤2

7

，
∴-2

7

≤x-2y+2z≤2

7

，當(dāng)且僅當(dāng)

x

1

=

2 y

- 2

=

z

2

時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)x=-

2 7

7

，y=

2 7

7

，z=-

4 7

7

時(shí)x-2y+2z=-2

7

．
∴（x-2y+2z）最小值為：-2

7

．
故答案為：-2

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查柯西不等式的應(yīng)用，掌握柯西不等式

n

i=1

ai2•

n

i=1

bi2≥(

n

i=1

aibi)2是解決問題的關(guān)鍵，特別是等號(hào)成立的條件，屬于難題．