Question

12．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）和圓O：x²+y²=b²．過雙曲線C上一點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．若△PAB可為正三角形，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由于△PAB可為正三角形，可得∠OPA=30°°，OP=2b≥a，再利用離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：∵△PAB可為正三角形，
∴∠OPA=30°，
∴OP=2b
則2b≥a，
∴$\frac{a}$≥$\frac{1}{2}$，
∴雙曲線C的離心率e≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴雙曲線C的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．