Question

已知命題p：不等式|x|+|x-1|＞a的解集為R，命題q：f（x）=-（5-2a）^x是減函數(shù)，若p，q中有且僅有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[1，2）

．

Answer 1

分析：由題意可先對(duì)兩個(gè)命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化解出使命題成立的a的取值范圍，再由p，q中有且僅有一個(gè)為真命題，分為兩類“p真，q假”與“p假，q真”分別解出符合條件的a的取值范圍，再求它們的并集即可得到所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答：解：由題意，命題p：不等式|x|+|x-1|＞a的解集為R，由于|x|+|x-1|≥1，故a＜1
命題q：f（x）=-（5-2a）^x是減函數(shù)．可得5-2a＞1，解得a＜2
∵p，q中有且僅有一個(gè)為真命題
若p真，q假，此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是∅
若p假，q真，此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是1≤a＜2
綜上得p，q中有且僅有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，2）
故答案為[1，2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了絕對(duì)值不等式與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是理解題中p，q中有且僅有一個(gè)為真命題，正確轉(zhuǎn)化是解題的重點(diǎn)