Question

若a²、b²、c²成等差數(shù)列，且（a+b）（b+c）（c+a）≠0，求證：

1

b+c

，

1

c+a

，

1

a+b

也成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：由a²、b²、c²成等差數(shù)列可得2b²=a²+c²，要證

1

b+c

，

1

c+a

，

1

a+b

也成等差數(shù)列，只要證

1

b+c

+

1

a+b

=

2

c+a

即可，結(jié)合已知關(guān)系進(jìn)行整理可得．

解答：解：由a²、b²、c²成等差數(shù)列可得2b²=a²+c²，
所以

1

b+c

+

1

a+b

-

2

c+a

=

(a+b)(a+c)+(b+c)(a+c)-2(b+c)(a+b)

(b+c)(a+b)(a+c)

=

a2+c2-2b2

(b+c)(a+b)(a+c)

=0
所以

1

b+c

+

1

a+b

=

2

c+a

所以

1

b+c

，

1

c+a

，

1

a+b

成等差數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的定義和證明、等差中項(xiàng)的應(yīng)用，考查式子的變形、運(yùn)算能力．