Question

已知數(shù)列{a_n}滿足如圖所示的程序框圖．
（Ⅰ）寫出當(dāng)n=1，2，3時(shí)輸出的結(jié)果；
（Ⅱ）寫出數(shù)列{a_n}的一個(gè)遞推關(guān)系式，并證明：{a_n+1-3a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）求{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（I） 根據(jù)程序框圖分別計(jì)算出當(dāng)n=1，2，3時(shí)輸出的結(jié)果；
（Ⅱ）由程序框圖可直接得到數(shù)列{an}的一個(gè)遞推關(guān)系式a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n，將a _n+2=5a_n+1-6a_n移向變形得出a_n+2-3a_n+1 =2（a _n+1-3a_n），從而可證{a_n+1-3a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求出a_n+1-3a_n=-2 ⁿ兩邊同除以3ⁿ⁺¹變形構(gòu)造出，然后利用累積法可求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用等比數(shù)列求和公式可求出前n項(xiàng)和S_n．
解答：解：（Ⅰ）由程序框圖可知，數(shù)列{an}的一個(gè)遞推關(guān)系式a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n
∴n=1時(shí)輸出a₃=5-6=-1，n=2時(shí)輸出a₄=5×（-1）-6=-11，n=3時(shí)輸出a₄=5×（-11）-6×（-1）=-49
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的一個(gè)遞推關(guān)系式，a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n；
則a_n+2-3a_n+1 =2（a _n+1-3a_n），且a₂-3a₁=-2
∴數(shù)列{a_n+1-3a_n}是以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
（III）由（II）有a_n+1-3a_n=-2 ⁿ
∴
∴=+（-）+（-）+…+（-）（n≥2）
=-×-×-×
=-
∴a_n=2ⁿ-3^n-1（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，也滿足上式，故a_n=2ⁿ-3^n-1
前n項(xiàng)和S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+3+3²+…+3^n-1）=
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了程序框圖知識(shí)，以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算、分析解決問題的能力，屬于中檔題．