已知函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中常數(shù)a>0.
(1)當(dāng)a>2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a=4時,是否存在實(shí)數(shù)m,使得直線6x+y+m=0恰為曲線y=f(x)的切線?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由;
(3)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)的圖象在點(diǎn)P(x0,h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),當(dāng)x≠x0時,若
h(x)-g(x)x-x0
>0
在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對稱點(diǎn)”.當(dāng)a=4,試問y=f(x)是否存在“類對稱點(diǎn)”?若存在,請至少求出一個“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(1)f′(x)=2x-(a+2)+
a
x
=
2x2-(a+2)x+a
x
=
(2x-a)(x-1)
x
,由此能求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)當(dāng)a=4時,f(x)=x2-6x+4lnx,f′(x)=2x+
4
x
-6
,其中x>0,令f′(x)=2x+
4
x
-6=-6
,方程無解,由此推導(dǎo)出不存在實(shí)數(shù)m使得直線6x+y+m=0恰為曲線y=f(x)的切線.
(3)當(dāng)a=4時,函數(shù)y=f(x)在其圖象上一點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為y=m(x)=(2x0+
4
x0
-6)(x-x0)+
x
2
0
-6x0+4lnx0
.由此能推導(dǎo)出y=f(x)存在“類對稱點(diǎn)”,
2
是一個“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo).
解答:解:(1)∵f(x)=x2-(a+2)x+alnx,
f′(x)=2x-(a+2)+
a
x
=
2x2-(a+2)x+a
x
=
(2x-a)(x-1)
x
,其中x>0,
令f'(x)=0,得x=1或x=
a
2

∵a>2,∴
a
2
>1

當(dāng)0<x<1及x>
a
2
時,f'(x)>0;
當(dāng)1<x<
a
2
時,f'(x)<0;
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(
a
2
,+∞)

(2)當(dāng)a=4時,f(x)=x2-6x+4lnx,f′(x)=2x+
4
x
-6
,其中x>0,
f′(x)=2x+
4
x
-6=-6
,方程無解,
∴不存在實(shí)數(shù)m使得直線6x+y+m=0恰為曲線y=f(x)的切線.
(3)由(2)知,當(dāng)a=4時,函數(shù)y=f(x)在其圖象上一點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為y=m(x)=(2x0+
4
x0
-6)(x-x0)+
x
2
0
-6x0+4lnx0

設(shè)?(x)=f(x)-m(x)=x2-6x+4lnx-(2x0+
4
x0
-6)(x-x0)-(
x
2
0
-6x0+4lnx0)
,
則φ(x0)=0.
?′(x)=2x+
4
x
-6-(2x0+
4
x0
-6)=2(x-x0)(1-
2
xx0
)=
2
x
(x-x0)(x-
2
x0
)

x0
2
,?(x)
(x0,
2
x0
)
上單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(x0
2
x0
)
時,φ(x)<φ(x0)=0,此時
?(x)
x-x0
<0
;
x0
2
,?(x)
(
2
x0
,x0)
上單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(
2
x0
,x0)
時,φ(x)>φ(x0)=0,此時
?(x)
x-x0
<0

∴y=f(x)在(0,
2
)∪(
2
,+∞)
上不存在“類對稱點(diǎn)”.
x0=
2
,?′(x)=
2
x
(x-
2
)2>0
,
∴φ(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
當(dāng)x>x0時,φ(x)>φ(x0)=0,
當(dāng)x<x0時,φ(x)<φ(x0)=0,故
?(x)
x-x0
>0

即此時點(diǎn)P是y=f(x)的“類對稱點(diǎn)”
綜上,y=f(x)存在“類對稱點(diǎn)”,
2
是一個“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo).
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法,探索滿足條件的實(shí)數(shù)的求法,探索函數(shù)是否存在“類對稱點(diǎn)”.解題時要認(rèn)真審題,注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)=(
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-1)2+(
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,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
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(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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