Question

F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1的焦點(diǎn)，在C上滿足PF₁⊥PF₂的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

分析：法一（代數(shù)法）：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知m+n=2a，又根據(jù)PF₁⊥PF₂可知m²+n²=（2c）²，進(jìn)而求得mn，所以m，n是一元二次方程x²-4

2

x+8=0的兩根，根據(jù)判別式可知方程有一個(gè)根，再根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知應(yīng)有2個(gè)點(diǎn)滿足．
法二（幾何法）：由圖形知，∠F₁BF₂=90⁰，故這樣的P點(diǎn)只能有兩個(gè)．

解答：解：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n
則m+n=2a=4

2

，m²+n²=（2c）²=16
∴mn=

(m+n)2-(m2+n2)

2

=8
所以m，n是一元二次方程x²-4

2

x+8=0的兩根
判別式△=32-32=0故此方程有一個(gè)實(shí)根，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知橢圓上存在2個(gè)點(diǎn)P滿足PF₁⊥PF₂
故答案為2．
法二：（幾何法）由橢圓的圖形知∠F₁BF₂=90⁰，故這樣的P點(diǎn)只能有兩個(gè)．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的基本性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．