已知
OA
=
a
，
CB
=
b
點G是△OAB的重心，過點G的直線PQ與OA，OB分別交于P，Q兩點．
（1）用
a
，
b
表示
OG
；
（2）若
OP
=m
a
，
OQ
=n
b
試問
1
m
+
1
n
是否為定值，證明你的結論．
分析：（1）先設D為AB的中點，則
OD
=
1
2
(
a
+
b
)，根據(jù)重心的性質求出向量
OG
，
（2）結合（1）中結論，然后根據(jù)P、Q、G共線建立等式關系，根據(jù)向量的性質可得到方程組，即可求出所求．
解答：解：（1）解：設D為AB的中點
則
OD
=
1
2
(
a
+
b
)，
OG
=
2
3
OD
=
1
3
(
a
+
b
)
∴
OG
=
1
3
(
a
+
b
)；
（2）
PG
=(
1
3
-m)
a
+
1
3
b
，
GQ
=-
1
3
a
+(n-
1
3
)
b

設
PG
=λ
GQ
得：
（
1
3
-m+
1λ
3
）
a
=[（n-
1
3
）λ-
1
3
]
b

又
a
，
b
不共線，
故
1
3
-m+
1λ
3
=（n-
1
3
）λ-
1
3
=0，
故
1
m
+
1
n
=3是定值．
點評：本題主要考查了重心的性質，以及向量的加減數(shù)乘的運算和幾何意義，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，C為線段AB上距A較近的一個三等分點，D為線段CB上距C較近的一個三等分點，則用
a
，
b
表示
OD
的表達式為（　�。�
A、
1
9
(4
a
+5
b
)
B、
1
16
(9
a
+7
b
)
C、
1
3
(2
a
+
b
)
D、
1
4
(3
a
+
b
)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
OA
=(-1，1)，
OB
=(0，-1)，
OC
=(1，m)(m∈R)．
（1）若A，B，C三點共線，求實數(shù)m的值；
（2）證明：對任意實數(shù)m，恒有 
CA
•
CB
≥1成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知點A在第二象限，AB⊥OA交x軸于B，點C在OB延長線上，且CB=BO，若∠CAB=45°，求以OA為終邊的角α的正弦和余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，C為線段AB上距A較近的一個三等分點，D為線段CB上距C較近的一個三等分點，則用
a
，
b
表示
OD
的表達式為（　�。�
A．
1
9
(4
a
+5
b
)		B．
1
16
(9
a
+7
b
)		C．
1
3
(2
a
+
b
)		D．
1
4
(3
a
+
b
)

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