Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）當(dāng)時，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）和；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合題意，得到，進而可求出結(jié)果；

（2）先由題意得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出單調(diào)減區(qū)間；

（3）先由題意得到在上恒成立，令，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性，得出函數(shù)的最小值，只需即可求出結(jié)果.

（1）因為函數(shù)為偶函數(shù)，

所以，即，即，因此；

（2）因為，所以，

因為函數(shù)的對稱軸為，開口向上；

所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；

又函數(shù)的對稱軸為，開口向上；

所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；

因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：和；

（3）由題意，不等式可化為，

即在上恒成立，

令，則只需即可；

因為，所以，

因此，

當(dāng)時，函數(shù)開口向上，對稱軸為：，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)開口向上，對稱軸為；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

因此，

由得，解得或，

因為，所以.

即實數(shù)的取值范圍為.