Question

△ABC的底邊BC=16，AC和AB兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心G的軌跡和頂點(diǎn)A的軌跡．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），以BC所在的直線為X軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．根據(jù)重心分中線比為2：1可知|GC|+|GB|=30×根據(jù)橢圓的定義可知G點(diǎn)的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)．進(jìn)而求得橢圓的a，c和b得到G的軌跡方程；設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（u，v），根據(jù)重心分中線比為2：1，可得x與u，y與v的關(guān)系，代入G的軌跡方程進(jìn)而可得A的軌跡方程．
解答：解：以BC所在的直線為X軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
∵重心分中線比為2：1
∴|GC|+|GB|=30×=20，
根據(jù)橢圓的定義可知G點(diǎn)的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)．
因a=10，c=8，有b=6，故其方程為=1（y≠0）
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（u，v）
則x=，y=，把（3u，3v）代入G的方程得+=1（v≠0）
故頂點(diǎn)A的軌跡為得+=1（y≠0）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軌跡方程的問題．本題解題的關(guān)鍵是利用了橢圓的定義求得軌跡方程．