Question

已知三次函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d（a，b，c∈R）過(guò)點(diǎn)（3，0），且函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線恰好是直線y=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=9x+m-1，若函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間[-2，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知條件即可建立關(guān)于b，c，d的三個(gè)方程，解方程即可求出b，c，d，從而求出f（x）的解析式．
（2）由已知條件可得到方程f（x）-g（x）=0在區(qū)間[-2，1]上有兩個(gè)不同的解，帶入f（x），g（x）后得到：方程x³-3x²-9x-m+1=0在區(qū)間[-2，1]上有兩個(gè)不同解．因?yàn)榍髆的取值范圍，所以把方程變成：m=x³-3x²-9x+1，求函數(shù)x³-3x²-9x+1在區(qū)間[-2，1]上的取值范圍，要使方程有兩個(gè)不同的解，從而求出m應(yīng)滿足的范圍．這樣便求出了m的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，由已知條件得：

f(3)=27+9b+3c+d=0 f′(0)=c=0 f(0)=d=0

，解得b=-3，c=d=0；
∴f（x）=x³-3x²
（2）由已知條件得：f（x）-g（x）=0在[-2，1]上有兩個(gè)不同的解；
即x³-3x²-9x-m+1=0在區(qū)間[-2，1]有兩個(gè)不同的解；
即m=x³-3x²-9x+1在[-2，1]上有兩個(gè)不同解．
令h（x）=x³-3x²-9x+1，h′（x）=3x²-6x-9，x∈[-2，1]；
解3x²-6x-9＞0得：-2≤x＜-1；解3x²-6x-9＜0得：-1＜x≤1；
∴h（x）_max=h（-1）=6，又f（-2）=-1，f（1）=-10，∴h（x）_min=-10；
m=h（x）在區(qū)間[-2，1]上有兩個(gè)不同的解，∴-10≤m＜6．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-10，6）．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，對(duì)切線過(guò)切點(diǎn)的條件的運(yùn)用，函數(shù)零點(diǎn)和方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值．