已知橢圓
x2
2b2
+
y2
b2
=1(b＞0)
（1）若圓(x-2)2+(y-1)2=
20
3

（2）與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓方程；
（3）設L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M、N兩點，且L的傾斜角為60°．求
|MF|
|NF|
的值．
分析：（1）由于AB為圓的直徑，即A、B兩點之間的距離為圓的半徑，故可設直線方程代入橢圓方程．利用中點坐標及弦長公式可求橢圓的方程；
（2）由于L的傾斜角為60°，利用橢圓的第二定義，可建立方程，從而可求比值
解答：解：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程為y-1=k（x-2）即y=kx+1-2k
  代入
x2
2b2
+
y2
b2
=1(b＞0)得（1+2k2）x2+4（1-2k）•kx+2（1-2k）2-2b2=0
∵x1+x2=
4(1-2k)k
1+2k2
=4∴k=-1
∴x1x2=6-
2
3
b2∴(x1-x2)2=
40
3

∴b2=8∴橢圓方程為
x2
16
+
y2
8
=1；
（2）設 MF=m，NF=n（不妨設m＜n）則由第二定義知
n
e
-
m
e
=
1
2
(m+n)
即
m
n
=
9+4
2
7
或
m
n
=
9-4
2
7

∴
|MF|
|NF|
=
9+4
2
7
或
|MF|
|NF|
=
9-4
2
7
．
點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，有較強的綜合性．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設b＞0，橢圓方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1，拋物線方程為y=
1
8
x2+b，如圖所示，過點F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G處的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1．
（1）求點G和點F1的坐標（用b表示）；
（2）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（3）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設b＞0，橢圓方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1，拋物線方程為x2=8（y-b）．如圖所示，過點F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題：
①動點M到兩定點A、B的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1），則動點M的軌跡是圓；
②橢圓
x2
2b2
+
y2
b2
=1的離心率是
2
2
；
③雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦點到漸近線的距離是b；
④已知拋物線y2=2px上兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），且OA⊥OB（O是坐標原點），則y1y2=-p2．
其中正確命題的序號是
①②③
①②③
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
2b2
+
y2
b2
=1(b＞0)
（1）若圓(x-2)2+(y-1)2=
20
3

（2）與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓方程；
（3）設L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M、N兩點，且L的傾斜角為60°．求
|MF|
|NF|
的值．

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