Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R，
（Ⅰ）若a≤-

1

2

，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a=-1，對任意的x∈（-∞，0），都有f（x）＞

1

3

x³+

1

2

x²+m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）求導(dǎo)數(shù)，分a=-

1

2

，a＜-

1

2

，兩種情況討論．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷并分別求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，得-

3

e

＞

1

6

+m，問題得以解決．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=（2ax-2）•e^x+（x²-2x+1）•e^x=（ax²+2ax+x）e^x=[x（ax+2a+1）]e^x，
令f′（x）=0，得x=0，或x=-

2a+1

a

=-2-

1

a

，
①若a=-

1

2

，f′（x）=-

1

2

x²e^x≤0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，
②若a＜-

1

2

，當(dāng)x∈（-∞，-2-

1

a

）和（0，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（-2-

1

a

，0）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)a=-

1

2

，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，
當(dāng)a＜-

1

2

，函數(shù)f（x）在x∈（-∞，-2-

1

a

）和（0，+∞）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，在（-2-

1

a

，0）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，
∴f′（x）=-x（x+1）e^x，
∴函數(shù)f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在x=-1處取得最小值，最小值為f（-1）=-

3

e

，
設(shè)g（x）=

1

3

x³+

1

2

x²+m，
則g′（x）=x²+x，
當(dāng)x＜-1時，g′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜0時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞增，
故g（x）在x=-1時取得最大值，最大值為g（-1）=

1

6

+m，
由題意可知-

3

e

＞

1

6

+m，
∴m＜-

1

6

-

3

e

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-

1

6

-

3

e

）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是判斷單調(diào)性和最值，屬中檔題．