Question

1．已知橢圓Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的點，PQ⊥x軸，垂足為Q，且|F₁F₂|=6，∠PF₁F₂=arccos$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，△PF₁F₂的面積為3$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓Г的方程；
（2）若M是橢圓上的動點，求|MQ|的最大值．并求出|MQ|取得最大值時M的坐標．

Answer 1

分析 由

解答 解：（1）由△PF₁F₂的面積為3$\sqrt{2}$，|F₁F₂|=6，
得$\frac{1}{2}×6×{y}_{P}=3\sqrt{2}$，∴${y}_{P}=\sqrt{2}$，
又∠PF₁F₂=arccos$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，∴$|{F}_{1}Q|=\frac{5\sqrt{3}}{9}|P{F}_{1}|$，
則由$（\frac{5\sqrt{3}}{9}|P{F}_{1}|）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}$，解得$|P{F}_{1}|=3\sqrt{3}$．
∴$|P{F}_{2}{|}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+4{c}^{2}-2•2c•|P{F}_{1}|•\frac{5\sqrt{3}}{9}$，解得：$|P{F}_{2}|=\sqrt{3}$．
∴2a=4$\sqrt{3}$，a=2$\sqrt{3}$，c=3，b²=a²-c²=3．
∴橢圓Г的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）知，${y}_{P}=\sqrt{2}$，代入$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得x_p=2，
∴Q（2，0），設(shè)M（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，∴${{y}_{0}}^{2}=3-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$．
∴|MQ|=$\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}+4+3-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}+7}$．
∵$-2\sqrt{3}≤{x}_{0}≤2\sqrt{3}$，∴當${x}_{0}=-2\sqrt{3}$時，$|MQ{|}_{max}=\sqrt{16+8\sqrt{3}}$．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，