【題目】已知函數(shù),(,且).
(1)當時,若對任意,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若,設 ,是的導函數(shù),判斷的零點個數(shù),并證明.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】分析:(1)由題意,求導,若k≤0,則g′(x)>0,根據(jù)函數(shù)的單調性即可求得g(x)最大值,即可求得實數(shù)k的取值范圍;
(2)構造輔助函數(shù),求導,根據(jù)函數(shù)的單調性及函數(shù)零點的判斷,即可求得f'(x)的零點個數(shù).
詳解: (1)當時,對任意,恒成立,
令,求導,
由,則,
若,則,所以在上是增函數(shù),所以,符合題意,
當時,令,解得,,
則在上是減函數(shù),當時,,不符合題意,
綜上可知的取值范圍為.
(2)證明:由題意:,由此可得為一個零點,
令(),則,
的減區(qū)間為,單調增區(qū)間為,
其中,則,,,
當時,,
由零點存在定理及單調性可知在上存在唯一的零點,
取,則,令,知在上是減函數(shù),
故當時,,即,
由零點存在定理及單調性可知在上存在唯一,,
由的單調遞減區(qū)間是,則在上僅存在唯一的零點,
綜上可知共有三個零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某面包店隨機收集了面包種類的有關數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:
面包類型 | 第一類 | 第二類 | 第三類 | 第四類 | 第五類 | 第六類 |
面包個數(shù) | 90 | 60 | 30 | 80 | 100 | 40 |
好評率 | 0.6 | 0.45 | 0.7 | 0.35 | 0.6 | 0.5 |
好評率是指:一類面包中獲得好評的個數(shù)與該類面包的個數(shù)的比值.
(1)從面包店收集的面包中隨機選取1個,求這個面包是獲得好評的第五類面包的概率;
(2)從面包店收集的面包中隨機選取1個,估計這個面包沒有獲得好評的概率;
(3)面包店為增加利潤,擬改變生產(chǎn)策略,這將導致不同類型面包的好評率發(fā)生變化.假設表格中只有兩類面包的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類面包的好評率增加0.1,哪類面包的好評率減少0.1,使得獲得好評的面包總數(shù)與樣本中的面包總數(shù)的比值達到最大?(只需寫出結論)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,設橢圓(a>1).
(Ⅰ)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a、k表示);
(Ⅱ)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點,求橢圓離心率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2015年7月9日21時15分,臺風“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸,造成165.17萬人受災,5.6萬人緊急轉移安置,288間房屋倒塌,46.5千公頃農(nóng)田受災,直接經(jīng)濟損失12.99億元.距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風的影響,適逢暑假,小明調查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失,將收集的數(shù)據(jù)分成,,,,五組,并作出如圖頻率分布直方圖:
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);
(2)小明向班級同學發(fā)出倡議,為該小區(qū)居民捐款,現(xiàn)從損失超過4000元的居民中隨機抽取2戶進行捐款援助,設抽出損失超過8000元的居民為戶,求的分布列和數(shù)學期望;
(3)臺風后區(qū)委會號召小區(qū)居民為臺風重災區(qū)捐款,小明調查的50戶居民捐款情況如圖,根據(jù)圖表格中所給數(shù)據(jù),分別求,,,,,,的值,并說明是否有以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關?
經(jīng)濟損失不超過4000元 | 經(jīng)濟損失超過4000元 | 合計 | |
捐款超過500元 | |||
捐款不超過500元 | |||
合計 |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:臨界值表參考公式:,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】美國對中國芯片的技術封鎖,這卻激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮,中國華為公司研發(fā)的、兩種芯片都已獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金千萬元,現(xiàn)在準備投入資金進行生產(chǎn),經(jīng)市場調查與預測,生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比,已知每投入千萬元,公司獲得毛收入千萬元;生產(chǎn)芯片的毛收入(千萬元)與投入的資金(千萬元)的函數(shù)關系為(與都為常數(shù)),其圖象如圖所示.
(1)試分別求出生產(chǎn)、兩種芯片的毛收入(千萬元)與投入資金(千萬元)函數(shù)關系式;
(2)現(xiàn)在公司準備投入億元資金同時生產(chǎn)、兩種芯片,設投入千萬元生產(chǎn)芯片,用表示公司所獲利潤,當為多少時,可以獲得最大利潤?并求最大利潤.(利潤芯片毛收入芯片毛收入研發(fā)耗費資金)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內接于圓柱的底面圓O,AB是圓O的直徑,AB=2,BC=1,DC、EB是兩條母線,且tan∠EAB=.
(1)求三棱錐C-ABE的體積;
(2)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(3)在CD上是否存在一點M,使得MO∥平面ADE,證明你的結論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為調查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人,結果如下:
男 | 女 | |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
(1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例。
(2)能否在犯錯誤的概率不超過百分之一的前提下認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】動點到定點的距離之比它到直線的距離小1,設動點的軌跡為曲線,過點的直線交曲線于兩個不同的點,過點分別作曲線的切線,且二者相交于點.
(1)求曲線的方程;
(2)求證:;
(3)求 的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).若以直角坐標系中的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若曲線與曲線有公共點,求實數(shù)的取值范圍.
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