Question

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為

2

2

，直線?與橢圓C相切于M點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，且|MF1|+|MF2|=2

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線m過F₁點(diǎn)，且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，|AF2|+|BF2|=

8 2

3

，求直線m的方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率，橢圓的定義，建立方程組，求出幾何量，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線m的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及橢圓的定義，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）∵橢圓的離心率為

2

2

，|MF1|+|MF2|=2

2

∴

c a = 2 2 2a=2 2

∴a=

2

，c=1
∴b=1
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；
（2）由（1）知，F(xiàn)₁（-1，0），設(shè)直線m的方程為x=my-1
代入橢圓方程可得（m²+2）y²-2my-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

2m

m2+2

，y1y2=

-1

m2+2

∴|AB|=

1+m2

|y1-y2|=

1+m2

•

( 2m m2+2 )2-4• -1 m2+2

∵|AF2|+|BF2|=

8 2

3

∴|AB|=4

2

-

8 2

3

=

4 2

3

∴

1+m2

•

( 2m m2+2 )2-4• -1 m2+2

=

4 2

3

∴m=±1
∴直線m的方程為y=±（x+1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．